Solutions
III.3.4.
(a) On suppose, par exemple, que R 1 < R 2 . Pour |x| < R 1 , la série
+∞
n=0
(a n + b n ) x n converge alors comme somme de deux séries convergentes. Pour R 1 < |x| < R 2 , la série diverge comme somme d’une série
divergente et d’une série convergente. Donc R = R 1 = min {R 1 , R 2 }. Si
R 1 = R 2 , clairement, R R 1 . Pour montrer que l’inégalité peut être
stricte, on considère a n = −1 et b n = 1 pour n ∈ N. On a R 1 = R 2 = 1
et R = +∞.
(b) Puisque (voir, par exemple, II.4.17 (vol. I))
1
R
= lim
n→+∞
n
|a n b n | lim
n→+∞
n
|a n | · lim
n→+∞
n
|b n | =
1
R 1
×
1
R 2
,
on a R R 1 R 2 . L’exemple suivant montre que l’inégalité peut être
stricte. On pose
a 2n = 0, a 2n+1 = 1, b 2n = 1, b 2n+1 = 0, n ∈ N.
On a alors R 1 = R 2 = 1 et R = +∞.
III.3.5.
(a) Il découle de
a n =
a n
b n
· b n
et de la question (b) du problème précédent que R 1 RR 2 . Pour voir que
l’inégalité peut être stricte, on considère, par exemple, les séries
+∞
n=0
a n x n
et
+∞
n=0
b n x n définies par
a n =
1
pour n pair,
2 n pour n impair
et
b n =
2 n pour n pair,
1
pour n impair.
On a alors R 1 = R 2 = R = 1/2.
(b) Il suffit d’observer que si |x| < min {R 1 , R 2 }, alors le produit de Cauchy
des séries
+∞
n=0
a n x n et
+∞
n=0
b n x n converge d’après le théorème de Mertens
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