Chapitre III. Suites et séries de fonctions
La série converge donc sur
−
1
e ,
1
e
. La série diverge grossièrement aux
extrémités. En effet, si x = 1/e, alors
lim
n→+∞
a 2n x
2n = lim
n→+∞
1 +
1
2n
4n 2
e 2n
= e
−1/2
et si x = −1/e, alors lim
n→+∞
a 2n x 2n
= e −1/2 .
III.3.3.
(a) Le rayon de convergence est égal à
√
2 et l’intervalle de convergence est
1 −
√
2 , 1 +
√
2
.
(b) Le rayon de convergence de la série
+∞
n=1
n
n+1 y n est égal à 1. La série
+∞
n=1
n
n+1
2x+1
x
n converge donc sur
−1 , −
1
3
. Clairement, elle diverge
en x = −1 et en x = −1/3.
(c) Le rayon de convergence de
+∞
n=1
n4 n
3 n y n est égal à 3/4. En conséquence, la
série
+∞
n=1
n4 n
3 n x n (1 − x)
n converge sur
−
1
2 ,
3
2
. On voit facilement qu’elle
diverge aux extrémités.
(d) Puisque que le rayon de convergence est égal à 4, la série converge sur
]−3 , 5[. La série diverge pour x = 5 car la suite de ses termes
(n!)
2
(2n)! 4 n
est croissante. Pour x = −3, on obtient la série
+∞
n=1
(−1)
n (n!)
2
(2n)! 4 n qui est
grossièrement divergente.
(e) Le rayon de convergence de
+∞
n=1
√
ny n est égal à 1. La série
+∞
n=1
√ n (tan x)
n converge donc sur l’ensemble
n∈Z
−
π
4
+ nπ ,
π
4
+ nπ
.
Si x = −
π
4 + nπ ou si x =
π
4 + nπ, la série diverge.
(f) Le domaine de convergence est
]−∞ , − tan 1[ ∪ ]tan 1 , +∞[ .
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