Solutions
On note que (2) est évidemment vérifiée pour R = +∞. En combinant (1)
et (2), on voit que
1
R = lim
n→+∞
n
|a n |. Le test de la racine montre alors que la
série
+∞
n=0
a n (x − x 0 )
n est absolument convergente pour |x − x 0 | < R et divergente pour |x − x 0 | > R.
III.3.2.
(a) Le rayon de convergence de la série est égal à 1. Elle converge donc pour
|x| < 1 et elle diverge pour |x| > 1. Pour x = 1, −1, la série diverge.
L’intervalle de convergence est donc l’intervalle ouvert ]−1 , 1[.
(b) Le rayon de convergence de la série est égal à +∞ et la série converge
donc pour tout x ∈ R.
(c) Le domaine de convergence est l’intervalle fermé
−
1
2 ,
1
2
.
(d) On a
1
R
= lim
n→+∞
n
(2 + (−1)
n )
n = 3.
La série converge donc sur
−
1
3 ,
1
3
. Clairement la série diverge aux extrémités de l’intervalle de convergence.
(e) Puisque
1
R
= lim
n→+∞
2 + (−1)
n
5 + (−1)
n+1 =
3
4
,
la série converge sur
−
4
3 ,
4
3
. La série diverge aux extrémités.
(f) Puisque
1
R
= lim
n→+∞
n
|a n | = lim
n→+∞
n 2
√
2 n = 1,
on voit facilement que l’intervalle de convergence est ]−1 , 1[.
(g) Puisque
1
R
= lim
n→+∞
n
|a n | = lim
n→+∞
n!
2 n 2 = 1,
on voit facilement que l’intervalle de convergence est ]−1 , 1[.
(h) On a
1
R
= lim
n→+∞
n
|a n | = lim
n→+∞
1 +
1
n
(−1)
n n
= e.
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