Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.3. Séries entières
III.3.1. Soit R la borne supérieure de l’ensemble des r ∈ R + tels que
{|a n | r n } soit une suite bornée. Si R > 0, il existe alors une constante strictement positive C ρ telle que |a n | C ρ pour 0 ρ < R. Donc, lim
n→+∞
n
|a n |
1
ρ .
Cette dernière inégalité étant vérifiée pour tout ρ ∈ [0 , R[, on obtient
lim
n→+∞
n
|a n |
1
R
.
(1)
On note que l’inégalité (1) est aussi vérifiée pour R = 0. Pour prouver que
l’inégalité opposée est aussi vérifiée, on suppose que R < +∞. Pour ρ > R, la
suite {|a n | ρ n } n’est pas bornée et elle contient donc une sous-suite telle que
|a n k | ρ n k 1. D’où,
lim
n→+∞
n
|a n | lim
n→+∞
n k
|a n k |
1
ρ
.
Puisque l’on peut choisir ρ > R arbitrairement, on obtient
lim
n→+∞
n
|a n |
1
R
.
(2)
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