Solutions
III.2.40. La fonction g étant bornée, la série converge uniformément sur R
vers f et f est donc continue sur R. Notre but est maintenant de prouver que
f n’est nulle part dérivable. Soit x ∈ R et m ∈ N ∗ . S’il y a un entier dans
4 m x , 4 m x +
1
2
, il n’y en a alors pas dans
4 m x −
1
2 , 4 m x
. On peut donc
toujours trouver δ m = ±
1
2 4 −m tel qu’il n’y ait aucun entier dans l’intervalle
ouvert d’extrémités 4 m x et 4 m (x + δ m ). Par définition de g,
g (4 n (x + δ m )) − g (4 n x)
δ m
=
0
si n > m,
4 n si 0 n m.
On note ici que, pour m fixé,
g (4 n (x + δ m )) − g (4 n x)
δ m
a le même signe pour n = 0, 1, . . . , m. Donc,
f (x + δ m ) − f (x)
δ m
=
+∞
n=0
3
4
n g (4 n (x + δ m )) − g (4 n x)
δ m
=
m
n=0
3
4
n g (4 n (x + δ m )) − g (4 n x)
δ m
=
m
n=0
3
4
n
4
n
=
3 m+1 − 1
2
.
Puisque lim
m→+∞
δ m = 0, ce qui précède implique que lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h
n’existe
pas et f est donc nulle part dérivable sur R. Les graphes des trois premières
sommes partielles S 0 (x), S 1 (x) et S 2 (x) de la série définissant f sont tracés
ci-dessous.
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