Chapitre III. Suites et séries de fonctions
La condition (c) implique alors sup
x∈[0,1]
a n f (n) (x)
− −−−− →
n→+∞
0, ce qui signifie que,
étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
a n f (n) (θ n )
< ε si n > n 0 . L’égalité (∗)
donne maintenant
|n!a n | <
εx n
0
|f (x 0 )|
.
III.2.39. Clairement, pour x ∈ Z, on a f n (x) = 0 et
+∞
n=1
f n (x) = 0. On pose
maintenant x =
r
s , où r et s sont des entiers premiers entre eux et s > 1. Si
p est un nombre premier différent de s, alors f p (x)
1
ps . En effet, pour tout
a ∈ Z,
r
s
−
a
p
=
|rp − as|
sp
1
sp
.
En conséquence,
+∞
n=1
f n (x)
p∈P
1
sp
,
où P représente l’ensemble des nombres premiers différents de s. Donc (voir,
par exemple, III.2.72 (vol. I)), la série
+∞
n=1
f n (x) diverge pour tout x ∈ Q \ Z.
Pour x irrationnel, on pose
A =
n ∈ N
∗ :
1
4
< nx − [nx] <
1
2
,
A(m) = card {n ∈ A : n < m} ,
où card B représente le cardinal de l’ensemble B. Le fait que les nombres
nx − [nx] sont uniformément distribués modulo 1 pour x irrationnel (voir, par
exemple, théorème 25.1 dans P. Billingsley, Probability and Measure, Wiley,
New York, 1979, pp. 282-283), implique lim
m→+∞
A(m)
m
=
1
4 . En conséquence,
n∈A
1
4n = +∞. On note que
f n (x) = x −
[nx]
n
1
4n
pour n ∈ A. Il s’ensuit que
+∞
n=1
f n (x) diverge pour x ∈ R \ Q.
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