Solutions
III.2.36. Clairement, la série converge uniformément sur chaque intervalle
borné et f est donc continue sur R. De plus, pour x = 0,
+∞
n=1
|x|
x 2 + n 2
=
+∞
n=1
n 2 sgn(x) − x |x|
(x 2 + n 2 )
2
.
La série dérivée est donc uniformément convergente sur chaque intervalle borné
ne contenant pas 0 et f est continue en tout x = 0. On montre maintenant
que f (0) n’existe pas. Puisque
f (h) − f (0)
h
=
|h|
h
+∞
n=1
1
h 2 + n 2
et (voir III.2.17)
lim
h→0
+∞
n=1
1
h 2 + n 2 =
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
,
la limite lim
h→0
f (h)−f (0)
h
n’existe pas.
III.2.37. On remarque d’abord que la série
+∞
n=1
1
n x converge uniformément
sur tout intervalle [x 0 , +∞[, x 0 > 1 (voir III.2.26). La fonction ζ de Riemann
est donc continue sur ]1, +∞[. Pour k ∈ N ∗ , la série
+∞
n=1
(−1)
k ln
k n
n x
est aussi uniformément convergente sur tout intervalle [x 0 , +∞[, x 0 > 1, car
ln
k n
n x
x
x 0 −1
2
n x 0 =
1
n
x 0 +1
2
pour n suffisamment grand. Toutes les dérivées de la fonction ζ de Riemann
sont donc continues sur ]1, +∞[.
III.2.38. D’après (a), il existe x 0 ∈ ]0 , 1] tel que f (x 0 ) = 0. D’après (b) et
la formule de Taylor avec reste Lagrange, on a
f (x 0 ) =
f (n) (θ n )x n
0
n!
où θ n ∈ ]0 , 1[. Donc,
f
(n) (θ n ) =
n!f (x 0 )
x n
0
.
(∗)
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