Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.33. Clairement, la série
+∞
n=1
sin(nx 2 )
1+n 3
converge uniformément sur R. La
série dérivée
+∞
n=1
2xn cos(nx 2 )
1+n 3
converge uniformément sur tout intervalle borné.
Donc, d’après III.2.28, f est continue sur tout intervalle borné et donc continue sur R.
III.2.34. Le test de Weierstrass montre que la série et la série dérivée
+∞
n=1
n
√
n (tan x)
n−1
1
cos 2 x
sont uniformément convergentes sur chaque sous-intervalle compact de
−
π
4 ,
π
4
. Donc, d’après III.2.28, f est continue sur
−
π
4 ,
π
4
.
III.2.35. Le test de Weierstrass montre que la série étudiée converge uniformément sur R + . On voit, de nouveau avec le test de Weierstrass, que la série
dérivée
+∞
n=0
−ne −nx
1 + n 2
est uniformément convergente sur chaque intervalle [a , +∞[, a > 0. La fonction
f appartient donc à C 1
]0,+∞[ . On conclut en répétant k fois le procédé précédent que
+∞
n=0
(−1)
k n k e −nx
1+n 2
converge uniformément sur chaque intervalle [a , ∞[,
a > 0. Ceci montre que f ∈ C ∞
]0,+∞[ .
Puisque
f (x) − f (0)
x
=
+∞
n=0
e −nx − 1
x (1 + n 2 )
N
n=0
e −nx − 1
x (1 + n 2 )
pour x > 0 et N > 1, si f (0) existe, on a alors
lim
x→0 +
f (x) − f (0)
x
N
n=0
−n
1 + n 2 .
Par passage à la limite lorsque N tend vers +∞, on obtient f (0) −∞,
contradiction.
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