Solutions
III.2.29. D’après le test de Weierstrass, la série
+∞
n=1
1
n 2 +x 2 converge uniformément sur R. De plus, puisque
1
n 2 + x 2
=
−2x
(n 2 + x 2 )
2
1
n 3 ,
+∞
n=1
1
n 2 +x 2
converge aussi uniformément sur R. Donc, d’après le résultat
du problème précédent, f est dérivable sur chaque intervalle compact et donc
sur R.
III.2.30. On note d’abord que
+∞
n=1
cos(nx)
1+n 2 converge uniformément sur R. La
série
+∞
n=1
cos(nx)
1 + n 2
=
+∞
n=1
−n sin(nx)
1 + n 2
converge uniformément sur l’intervalle considéré d’après le test de convergence
uniforme de Dirichlet énoncé en III.2.13. La dérivabilité de f se déduit donc
de III.2.28.
III.2.31. La série
+∞
n=1
(−1)
n+1 ln
1 +
x
n
converge, par exemple, pour x = 0.
La série
+∞
n=1
(−1)
n+1 ln
1 +
x
n
=
+∞
n=1
(−1)
n+1
1
n + x
converge uniformément sur R + d’après le résultat énoncé en III.2.9. Le résultat de III.2.28 montre donc que f est dérivable sur R + et
f
(0) =
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
n
= ln 2, f
(1) =
+∞
n=1
(−1)
n+1
1
n + 1
= 1 − ln 2.
Enfin, on obtient, en appliquant III.1.30, lim
x→+∞
f (x) = 0.
III.2.32. La série
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
√ n
Arctan
x
√ n
converge uniformément sur R
d’après le test de convergence uniforme d’Abel (voir III.2.15). La série dérivée
+∞
n=1
(−1)
n+1
n+x 2 est aussi uniformément sur R (voir III.2.10(a)). On peut donc
appliquer III.2.28.
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