Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.27. On a prouvé dans la solution de III.2.7 que la série étudiée
converge vers une fonction continue sur R. On montre que la convergence
n’est pas uniforme sur R.
On observe d’abord que la somme
+∞
n=n 0
sin
n 2 x
n 2
est différente de 0 en chaque x k =
π
2 + 2kπ (k ∈ N ∗ ) si n 0 est impair. De plus,
+∞
n=n 0
sin
n 2 x k
n 2
=
+∞
l=0
sin
n 2
0
π
2
(n 0 + 2l)
2 .
(∗)
Si la série
+∞
n=1
x
sin(n 2 x)
n 2
est uniformément convergente sur R vers une limite f ,
étant donné ε > 0, il existe alors n 0 impair tel que
f (x) −
n 0 −1
n=1
x
sin
n 2 x
n 2
< ε pour tout x ∈ R.
En particulier, on a
f (x k )
x k
−
n 0 −1
n=1
sin
n 2 π
2
n 2
<
ε
π
2 + 2kπ
et
lim
k→+∞
f (x k )
x k
=
n 0 −1
n=1
sin
n 2 π
2
n 2
.
Par ailleurs, d’après (∗),
f (x k )
x k
=
+∞
n=1
sin
n 2 x k
n 2
=
n 0 −1
n=1
sin
n 2 π
2
n 2
+ sin
n
2
0
π
2
+∞
l=0
1
(n 0 + 2l)
2 ,
contredisant le fait que
sin
n
2
0
π
2
+∞
l=0
1
(n 0 + 2l)
2 = 0.
III.2.28. Cette proposition se déduit immédiatement du résultat
de III.1.31.
326