Solutions
D’après le résultat de III.2.9, la série converge uniformément sur A. D’autre
part, la somme de la série
+∞
n=0
(1 − x)x n est égale à
S(x) =
1 pour x ∈ [0 , 1[,
0 pour x = 1.
La limite S n’étant pas continue, la convergence ne peut pas être uniforme.
III.2.24. Les fonctions f n étant monotones sur [a , b], on a
|r n (x)| =
+∞
k=n+1
f k (x)
+∞
k=n+1
|f k (x)|
+∞
k=n+1
max {|f k (a)| , |f k (b)|} .
Ceci montre que si la série converge absolument aux extrémités de l’intervalle
[a , b], elle converge alors normalement sur tout l’intervalle [a , b].
III.2.25. Soit A un ensemble borné ne contenant aucun élément de la
suite {a n }. Puisque
+∞
n=1
1
|an| converge, on a lim
n→+∞
|a n | = +∞. On peut donc
choisir un indice n 0 tel que |x − a n | 1 pour tout x ∈ A si n n 0 . D’où,
pour n suffisamment grand,
1
|x − a n |
=
1
|a n |
·
1
x
an − 1
1
|a n |
·
1
1 −
M
|an|
où M = sup
x∈A
|x|. On remarque enfin que si
+∞
n=1
1
|an| converge, alors
+∞
n=1
1
|an| ·
1
1−
M
|an|
converge aussi.
III.2.26. On écrit
+∞
n=1
a n
n x =
+∞
n=1
a n
n x 0 ×
1
n x−x 0
et on applique le test de convergence uniforme d’Abel (voir III.2.15).
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