Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.19. On observe d’abord que
+∞
n=1
a n x n converge uniformément sur [0 , 1].
Ceci se déduit du test de convergence uniforme d’Abel énoncé en III.2.15 en
prenant f n (x) = x n et g n (x) = a n . On voit alors, avec III.2.17, que la limite
est égal à
+∞
n=1
a n .
III.2.20. Les fonctions f n étant continues sur [0 , 1], on voit que
sup
x∈[0,1[
n+m
k=n
f k (x) = sup
x∈[0,1]
n+m
k=n
f k (x).
D’après le critère de Cauchy, la convergence uniforme de
+∞
n=1
f n (x) sur [0 , 1[
implique donc la convergence uniforme de
+∞
n=1
f n (x) sur [0 , 1].
III.2.21. A = R ∗
+ . La convergence n’est pas uniforme. En effet, si elle l’était,
d’après le résultat du problème précédent, la série convergerait en x = 0,
contradiction.
III.2.22. On note que
r n (x) =
+∞
k=n+1
f k (x) = f (x) − S n (x),
où S n (x) représente la n-ième somme partielle de
+∞
n=1
f n (x). Par hypothèse, la
suite {r n (x)} est monotone et convergente vers 0 en tout point de [a , b]. Le
théorème de Dini (voir III.1.16) implique donc la convergence uniforme de
{r n (x)}, d’où celle de la série sur [a , b].
III.2.23. Non. On considère
+∞
n=0
(−1)
n (1 − x)x
n , A = [0 , 1].
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