Solutions
est uniformément convergente sur A (voir III.2.10(c)) et la suite
cos
x
n
est bornée et monotone pour n >
2R
π .
(c) La série
+∞
n=1
(−1) [
√
n]
n
converge (voir, par exemple, III.4.8 (vol. I)) et la suite
√
n
√
n+x
est
monotone et bornée sur R + . Le test de convergence uniforme d’Abel
s’applique donc.
III.2.17. Le résultat découle immédiatement de III.1.30.
III.2.18. Pour prouver (a) et (b), on peut utiliser les résultats
de III.2.14, III.2.17 et III.1.32(a) (vol. I).
(c) Puisque
+∞
n=1
x
n
− x
n+1
=
x pour x ∈ [0 , 1[,
0 pour x = 1,
on obtient
lim
x→1 −
+∞
n=1
x
n
− x
n+1
= 1.
(d) On note d’abord que
+∞
n=1
1
2 n n x est uniformément convergente sur R +
d’après le test de Weierstrass. Donc, d’après le problème précédent, on a
lim
x→0 +
+∞
n=1
1
2 n n x =
+∞
n=1
1
2 n = 1.
(e) La série
+∞
n=1
x 2
1+n 2 x 2 converge uniformément sur R car
sup
x∈R
x 2
1 + n 2 x 2 =
1
n 2 .
En utilisant maintenant le résultat de III.1.30, on obtient
lim
x→+∞
+∞
n=1
x 2
1 + n 2 x 2 =
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
.
323