Chapitre III. Suites et séries de fonctions
pour x ∈ R + . De plus, la suite
1
√
n+x 2
décroît et converge uniformément vers 0 sur R + .
III.2.15. Une sommation par parties donne
S n (x) =
n
k=1
f k (x)g k (x) =
n−1
k=1
G k (x)(f k (x) − f k+1 (x)) + G n (x)f n (x),
où G n (x) =
n
k=1
g k (x). Puisque f 1 est bornée sur A, la condition (2) implique
qu’il existe M > 0 tel que |f n (x)| M pour tout x ∈ A et tout n ∈ N ∗ .
Puisque {G n } converge uniformément sur A vers une limite que l’on note G,
on obtient
S n+m (x) − S n (x)
=
n+m−1
k=n
G k (x)(f k (x) − f k+1 (x)) + G n+m (x)f n+m (x) − G n (x)f n (x)
=
n+m−1
k=n
(f k (x) − f k+1 (x))(G k (x) − G(x))
+ (G n+m (x) − G(x))f n+m (x) − (G n (x) − G(x))f n (x)
Ceci, combiné avec (2) et le fait que {f n (x)} soit uniformément bornée, montre
que {S n } vérifie le critère de convergence uniforme de Cauchy.
Pour prouver le test de convergence uniforme d’Abel, il suffit de noter que
la monotonie de {f n (x)} et le fait que {f n (x)} soit uniformément bornée impliquent la convergence simple vers une fonction bornée et les conditions (1)
et (2) sont donc vérifiées.
III.2.16.
(a) La suite {Arctan(nx)} vérifie les conditions (1’) et (2’) du test de convergence uniforme d’Abel. De plus,
+∞
n=1
(−1)
n+1
n+x 2 converge uniformément sur R
(voir III.2.10(a)).
(b) Le test de convergence uniforme d’Abel s’applique car la série
+∞
n=2
(−1)
n+1
√
n + cos x
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