Solutions
(c) Le test de Dirichlet montre que la série converge uniformément sur R car
2
n
k=1
sin
k
2 x
sin(kx)
=
n
k=1
(cos(k(k − 1)x) − cos(k(k + 1)x))
= |1 − cos(n(n + 1)x)| 2
et
1
n+x 2
est décroissante et uniformément convergente vers 0.
(d) On a
+∞
n=1
sin(nx) Arctan(nx)
n
=
+∞
n=1
sin(nx)
Arctan(nx) −
π
2
n
+
π
2 sin(nx)
n
.
(∗)
Puisque
+∞
n=1
π
2
sin(nx)
n
converge uniformément sur [δ , 2π − δ] (voir (b)), la
suite des sommes partielles est uniformément bornée. De plus, la suite
Arctan(nx) −
π
2
est croissante et vérifie le critère de convergence uniforme de Cauchy sur [δ , 2π − δ] car
Arctan((m + n)x) − Arctan(nx) = Arctan
mx
1 + (m + n)nx 2
Arctan
mx
(m + n)nx 2
Arctan
1
nδ
.
La suite
Arctan(nx) −
π
2
converge donc uniformément vers 0. Il s’ensuit, d’après (∗), que la série étudiée converge uniformément sur A.
(e) On a
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
n x =
+∞
n=1
(−1)
n+1
1
n
x−
a
2
1
n
a
2
.
Puisque
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
n
a
2
converge, la suite de ses sommes partielles est
bornée. De plus, la suite
1
n
x− a
2
décroît et converge uniformément vers 0
sur [a , +∞[.
(f) On note que
n
k=1
(−1)
k+1 1
e kx
=
1 −
(−1)
n
e nx
e x + 1
1
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