Chapitre III. Suites et séries de fonctions
Ceci, combiné à (3), implique
|S n+m (x) − S n (x)|
=
n+m−1
k=n
G k (x)(f k (x) − f k+1 (x)) + G n+m (x)f n+m (x) − G n (x)f n (x)
M
n+m−1
k=n
|f k (x) − f k+1 (x)| + |f n+m (x)| + |f n (x)|
.
Soit ε > 0. Les conditions (1) et (2) impliquent
sup
x∈A
|S n+m (x) − S n (x)|
M sup
x∈A
n+m−1
k=n
|f k (x) − f k+1 (x)| + |f n+m (x)| + |f n (x)|
< ε
pour m ∈ N ∗ et pour n suffisamment grand. On peut donc appliquer le critère
de convergence uniforme de Cauchy à
+∞
n=1
f n (x)g n (x).
Pour prouver le test de convergence uniforme de Dirichlet, on note que la
monotonie et la convergence uniforme de {f n (x)} impliquent (1) et (2). De
plus, puisque la suite des sommes partielles de
+∞
n=1
g n (x) est uniformément
bornée sur A, on voit que la condition (3) est aussi vérifiée. En conséquence,
la série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge uniformément sur A.
III.2.14. On applique le test de convergence uniforme de Dirichlet.
(a) On prend
f n (x) =
1
n
et g n (x) = (−1)
n+1 x
n .
(b) On prend ici
f n (x) =
1
n
et g n (x) = sin(nx)
et on note que
n
k=1
sin(kx)
1
sin
x
2
1
sin
δ
2
.
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