Solutions
III.2.9. Pour x ∈ A, la série
+∞
n=1
(−1)
n+1 f n (x) converge d’après la règle de
Leibniz. De plus, d’après le résultat donné en III.4.14 (vol. I),
sup
x∈A
|r n (x)| = sup
x∈A
n
k=n+1
(−1)
k+1 f k (x)
sup
x∈A
f n+1 (x).
Ceci, combiné à la condition (c), montre la convergence uniforme de la série
sur A.
III.2.10. Les trois séries (a), (b) et (c) vérifient les hypothèses de la proposition du problème précédent.
III.2.11. D’après l’inégalité de Cauchy, on a
sup
x∈A
n+m
k=n
c k f k (x)
n+m
k=n
c
2
k
1/2
sup
x∈A
n+m
k=n
f
2
k
1/2
.
Il suffit donc d’appliquer le critère de Cauchy pour la convergence uniforme.
III.2.12.
(a) A =
1
6 ,
1
2
, B =
1
6 ,
1
2
. La série converge uniformément sur
1
6 ,
1
3
car
sup
x∈[
1
6
,
1
3 ]
∞
k=n+1
2 k
k
(3x − 1)
k
sup
x∈[
1
6
,
1
3 ]
|6x − 2|
n+1
n + 1
=
1
n + 1
.
(b) A =
−∞ , −
1
2
, B =
−∞ , −
1
2
. La série converge uniformément sur
[−2 , −1] car
sup
x∈[−2,−1]
∞
k=n+1
1
k
x + 1
x
k
∞
k=n+1
1
k2 k .
III.2.13. Une sommation par parties donne
S n (x) =
n
k=1
f k (x)g k (x) =
n−1
k=1
G k (x)(f k (x) − f k+1 (x)) + G n (x)f n (x).
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