Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(c) La série est absolument convergente pour −1/2 < x < 1/2 et, comme en
(a), on peut montrer que sa somme est continue sur
−
1
2 ,
1
2
.
(d) La série est absolument convergente pour 1/e − 1 < x < e − 1 et sa
somme est continue sur
1
e − 1 , e − 1
.
III.2.6. Clairement la série converge pour x = 0. En utilisant, par exemple,
le résultat de III.2.16 (vol. I), on voit que la série converge si 0 < |x| < 1.
Si |x| 1, la série diverge. Un raisonnement semblable à celui utilisé dans
la solution du problème précédent montre que la somme est continue sur le
domaine de convergence.
III.2.7. On note d’abord que la série
+∞
n=1
sin
n 2 x
n 2
est uniformément convergente sur R et sa somme e
S y est donc continue. De
plus, si S n (x) =
n
k=1
x sin(k 2 x)
k 2
, alors lim
n→+∞
S n (x) = x e
S(x). La somme de la
série étudiée est donc aussi continue sur R.
III.2.8. On suppose que
+∞
n=1
f n (x) converge uniformément sur A vers S. Ceci
signifie que
d n = sup
x∈A
|S n (x) − S(x)| − −−−− →
n→+∞
0,
où S n (x) =
n
k=1
f k (x). La fonction f étant bornée, on a aussi
d
n = sup
x∈A
|f (x)S n (x) − f (x)S(x)| − −−−− →
n→+∞
0.
Pour voir que le fait que f soit bornée est essentiel, prenez A = ]0 , 1], f (x) =
1
x
et f n (x) =
1
2 n−1 . La série
+∞
n=1
f n (x) converge uniformément sur A, ce qui n’est
pas le cas de la série
+∞
n=1
1
x f n (x) car
sup
x∈]0,1]
+∞
k=n+1
1
x
f k (x)
= sup
x∈]0,1]
2
x2 n = +∞.
On voit facilement que si
1
f est bornée sur A, la réciproque est alors vraie.
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