Solutions
III.2.3. On pose S(x) =
+∞
n=1
f n (x) et S n (x) =
n
k=1
f k (x). On a
sup {S(x) − S n (x) : x ∈ [0 , 1]} =
1
n + 1
,
ce qui montre que la série converge uniformément sur [0 , 1], mais
les hypothèses du test de Weierstrass ne sont pas vérifiées puisque
sup {f n (x) : x ∈ [0 , 1]} =
1
n .
III.2.4. On a
S n (x) =
n
k=1
x
((k − 1)x + 1)(kx + 1)
=
n
k=1
1
(k − 1)x + 1
−
1
kx + 1
= 1 −
1
nx + 1
.
Donc,
f (x) = lim
n→+∞
S n (x) =
0 si x = 0,
1 si x > 0.
Clairement, f n’est pas continue en 0.
III.2.5.
(a) La série est absolument convergente sur R car
+∞
n=0
x n sin(nx)
n!
+∞
n=0
|x|
n
n!
= e
|x| .
Clairement, la convergence est uniforme sur chaque intervalle borné. La
continuité de la somme se déduit donc du résultat de I.2.34.
(b) Puisque
+∞
n=0
|x|
n 2
+∞
n=0
|x|
n =
1
1 − |x|
,
la série converge absolument sur ]−1 , 1[. De plus, la convergence est uniforme sur chaque sous-ensemble compact de ]−1 , 1[. La somme est donc
continue sur ]−1 , 1[.
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