Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(d) La série converge simplement vers
S(x) =
1 si x ∈ [−1 , 1] \ {0},
0 si x = 0.
La limite S n’étant pas continue, la convergence ne peut pas être uniforme.
(e) On note que
sup
1/2|x|2
n 2
√
n!
x
n + x
−n
n 2
√
n!
(2
n + 2
n )
n 2
√
n!
2
n+1 .
Puisque
+∞
n=1
n 2
√
n!
2 n+1 converge (par exemple, d’après le test de d’Alembert), le test de Weierstrass montre que la série converge uniformément
sur A.
(f) La série ne converge pas uniformément sur A puisque le critère de convergence uniforme de Cauchy n’est pas vérifié. En effet, si 0 <
1
3 n x
π
2 ,
|S n+m (x) − S n (x)| = 2
n+1 sin
1
3 n+1 x
+ · · · + 2
n+m sin
1
3 n+m x
2
n+1 2
π
1
3 n+1 x
+ · · · + 2
n+m 2
π
1
3 n+m x
2
n+1
2
π3 n+1 x
.
En prenant x =
1
3 n , on obtient
S n+m
1
3 n
− S n
1
3 n
2 n+2
3π
2 3
3π
.
(g) La convergence uniforme de la série se déduit du test de Weierstrass.
On a
ln
1 +
x 2
n ln
2 n
x 2
n ln
2 n
<
a 2
n ln
2 n
et le test de condensation de Cauchy (voir, par exemple, III.2.28
(vol. I)) montre que
+∞
n=2
a 2
n ln
2 n
converge.
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