Solutions
(f) Si x 0, la condition nécessaire de convergence n’est pas vérifiée.
Pour x > 0, d’après le test de condensation de Cauchy (voir, par
exemple, III.2.28 (vol. I)), la série étudiée converge si et seulement
si
+∞
n=2
n x
2 n(x−1) converge. Le test de la racine montre que cette dernière
série converge si x > 1 et diverge si x < 1. Si x = 1, la série est alors divergente. En résumé, on voit que le domaine de convergence est ]1 , +∞[.
(g) Puisque x ln n = n ln x , la série converge si ln x < −1 et diverge si
ln x −1. Le domaine de convergence est donc
0 ,
1
e
.
(h) On a
sin
2
2π
n 2 + x 2
= sin
2
⎛
⎝ 2nπ
x 2
n 2
1 +
x 2
n 2 + 1
⎞
⎠
π 2 x 4
n 2 .
Le test de comparaison montre que la série converge pour tout x.
III.2.2.
(a) Puisque Arctan x + Arctan
1
x =
π
2 pour x > 0, on voit que
π
2
− Arctan
n
2
1 + x
2
= Arctan
1
n 2 (1 + x 2 )
<
1
n 2 (1 + x 2 )
1
n 2 .
La série est uniformément convergente sur R d’après le test de Weierstrass (2) .
(b) Pour x ∈ [2 , +∞[, on a
ln(1 + nx)
nx n
1
x n−1
1
2 n−1 ,
la convergence uniforme de la série se déduit donc du test de Weierstrass.
(c) Puisque sup
n 2 x 2 e −n 2 |x| : x ∈ R
=
4
n 2 e 2 , le test de Weierstrass montre
que la série converge uniformément sur R.
(2) Il s’agit du test de convergence normale suivant : si les fonctions fn sont définies sur A, s’il
existe une suite {an} de réels positifs telle que |fn(x)| an pour tout x ∈ A et tout n ∈ N et
si
n∈N
an converge, alors la série
n∈N
fn converge normalement sur A. (N.d.T.)
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