Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(b) Clairement, la série converge si x = 0. Si x = 0, alors
x n
1 + x n =
1
1 +
1
x n
.
Donc, d’après (a), la série converge pour −1 < x < 1.
(c) Si x = 0, la série diverge. Si x = 0,
2 n + x n
1 + 3 n x n =
2
3x
n +
1
3 n
1 +
1
3 n x n
.
Le n-ième terme de la série converge donc vers 0 si et seulement si
2
3x
< 1, c’est-à-dire si |x| >
2
3 . Le test de comparaison montre que
la série converge si x ∈ ]−∞ , −2/3[ ∪ ]2/3 , +∞[.
(d) On a
x n−1
(1 − x n ) (1 − x n+1 )
=
1
x(1 − x)
1
1 − x n −
1
1 − x n+1
,
d’où
S N (x) =
N
n=1
x n−1
(1 − x n ) (1 − x n+1 )
=
1
x(1 − x)
1
1 − x
−
1
1 − x N +1
.
En conséquence,
lim
N →+∞
S N (x) =
⎧
⎨
⎩
1
(1−x)
2
si |x| < 1,
1
x(1−x)
2
si |x| > 1.
La série converge donc sur R \ {−1, 1}.
(e) On a
x 2 n−1
1 − x 2 n =
1
1 − x 2 n−1 −
1
1 − x 2 n
et
lim
N →+∞
S N (x) =
x
1−x
si |x| < 1,
1
1−x
si |x| > 1.
La série converge donc sur R \ {−1, 1}.
314