Solutions
et
k∈A
f
k
n
− f (x)
n
k
x
k (1 − x)
n−k < ε
k∈A
n
k
x
k (1 − x)
n−k
ε. (2)
Si k ∈ B, alors
(k − nx)
2
n 2 δ 2
1
et, d’après l’inégalité donnée en II.5.52, on a
k∈B
f
k
n
− f (x)
n
k
x
k (1 − x)
n−k
2M
n 2 δ 2
k∈B
(k − nx)
2
n
k
x
k (1 − x)
n−k
M
2nδ 2 .
Ceci, combiné à (1) et (2), donne
|B n (f, x) − f (x)| ε +
M
2nδ 2 , x ∈ [0 , 1].
III.1.33. Si [a , b] = [0 , 1], on prend alors P (x) = B n (f, x). Si [a , b] = [0 , 1],
on peut alors appliquer le résultat du problème précédent à la fonction
g(y) = f (a + y(b − a)), y ∈ [0 , 1]. Donc, étant donné ε > 0, il existe un
polynôme de Bernstein B n (g, y) tel que
|g(y) − B n (g, y)| < ε, y ∈ [0 , 1].
En posant x = a + y(b − a), on obtient
f (x) − B n
g,
x − a
b − a
< ε.
III.2. Séries de fonctions, convergence uniforme
III.2.1.
(a) Si x ∈ ]−1 , 1], alors lim
n→+∞
1
1+x n = 0. La condition nécessaire de convergence n’est donc pas vérifiée. Pour |x| > 1, on a |x|
n
2 n pour n
suffisamment grand. Donc,
1
1 + x n
1
|x|
n
− 1
2
|x|
n
et la série converge d’après le test de comparaison.
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