Chapitre III. Suites et séries de fonctions
pour m, n n 0 et x, t ∈ [a , b]. D’après (3) et (1), on a alors
|f n (x) − f m (x)| |f n (x) − f m (x) − f n (x 0 ) + f m (x 0 )| + |f n (x 0 ) − f m (x 0 )| < ε.
Le critère de Cauchy pour la convergence uniforme est donc vérifié
(voir III.1.7). Soit x ∈ [a , b]. On définit les fonctions h et h n par
h(t) =
f (t) − f (x)
t − x
, h n (t) =
f n (t) − f n (x)
t − x
, t ∈ [a , b], t = x.
On a lim
t→x
h n (t) = f
n (x), n ∈ N ∗ . D’après (3),
|h n (t) − h m (t)| <
ε
2(b − a)
, m,n n 0 ,
ce qui signifie que {h n } est uniformément convergente (évidemment vers h) sur
[a , b] \ {x}. En appliquant le résultat du problème précédent à la suite {h n }
et à l’ensemble [a , b] \ {x}, on obtient lim
n→+∞
f
n (x) = lim
t→x
h(t) = f (x).
III.1.32. L’égalité
1 = (x + (1 − x))
n =
n
k=0
n
k
x
k (1 − x)
n−k
donne
f (x) =
n
k=0
f (x)
n
k
x
k (1 − x)
n−k .
Donc,
|B n (f, x) − f (x)|
n
k=0
f
k
n
− f (x)
n
k
x
k (1 − x)
n−k .
(1)
Étant donné ε > 0, par continuité uniforme de f sur [0 , 1], il existe δ > 0 tel
que
f (x) − f (x
)
< ε
dès que |x − x | < δ, x, x ∈ [0 , 1]. Clairement, il existe M > 0 tel que
|f (x)| M pour x ∈ [0 , 1]. On fixe x dans [0 , 1]. L’ensemble {0, 1, 2, . . . , n}
peut se décomposer en deux ensembles
A =
k :
k
n
− x
< δ
et B =
k :
k
n
− x
δ
.
Si k ∈ A, alors
f
k
n
− f (x)
< ε
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