Solutions
III.1.30. On suppose d’abord que lim
x→x 0
f (x) = l. Soit ε > 0. Il existe δ > 0
tel que |f (x) − l| <
ε
2 si 0 < |x − x 0 | < δ. La convergence uniforme de {f n }
sur A implique
|f n (x) − f (x)| <
ε
2
pour n n 0 , x ∈ A.
Donc,
|f n (x) − l| < ε
dès que 0 < |x − x 0 | < δ et n n 0 . Puisque lim
x→x 0
f (x) existe, ceci implique
lim
n→+∞
lim
x→x 0
f n (x) = l.
On suppose maintenant que lim
n→+∞
lim
x→x 0
f n (x) = l. On pose
lim
x→x 0
f n (x) = g n (x 0 ).
On a donc lim
n→+∞
g n (x 0 ) = l. Soit ε > 0. Par convergence uniforme de {f n }, il
existe n 1 tel que
|f n (x) − f (x)| <
ε
3
(x ∈ A)
(1)
si n > n 1 . De ce qui précède, il existe n 2 tel que
|g n (x 0 ) − l| <
ε
3
(2)
si n > n 2 . On fixe n 0 > max {n 1 , n 2 }. Puisque lim
x→x 0
f n 0 (x) = g n 0 (x 0 ), on a
|f n 0 (x) − g n 0 (x 0 )| <
ε
3
(3)
si |x − x 0 | < δ n 0 . Les relations (1), (2) et (3) donnent lim
x→x 0
f (x) = l.
L’égalité lim
n→+∞
lim
x→+∞
f n (x) = lim
x→+∞
f (x) peut s’établir de la même façon.
III.1.31. Soit ε > 0. On choisit n 0 tel que
|f n (x 0 ) − f m (x 0 )| <
ε
2
(1)
si n, m n 0 et
f
n (t) − f
m (t)
<
ε
2(b − a)
, t ∈ [a , b].
(2)
Ceci, combiné au théorème des accroissements finis appliqué à la fonction
f n − f m , donne
|f n (x) − f m (x) − f n (t) + f m (t)| <
ε |x − t|
2(b − a)
ε
2
(3)
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