Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(On remarque que ceci montre que f est uniformément continue sur K.) L’ensemble K étant compact, il existe un recouvrement fini de K par des intervalles ouverts ]x i − δ , x i + δ[, i = 1, 2, . . . , k, x i ∈ K. Par convergence simple
de {f n }, il existe n 0 tel que
|f n (x i ) − f (x i )| <
ε
3
(i = 1, 2, . . . , k)
(3)
si n > n 0 . Clairement, pour x ∈ K, il existe un indice i tel que |x − x i | < δ.
Donc, d’après (1), (2) et (3), si n > n 0 , alors
|f n (x) − f (x)| |f n (x) − f n (x i )| + |f n (x i ) − f (x i )| + |f (x i ) − f (x)| < ε.
III.1.28. On observe que {f n } est équicontinue sur [a , b]. En effet, d’après
le théorème des accroissements finis, on a
|f n (x) − f n (y)| =
f
n (ζ)
|x − y| M |x − y|
pour tous x, y ∈ [a , b] et n ∈ N ∗ . Le résultat cherché se déduit maintenant du
problème précédent.
III.1.29.
(a) Puisque |f n (x)|
1
√
n
, la suite est uniformément convergente sur R. On
a f
n (x) =
√ n cos nx. Donc, lim
n→+∞
f
n (0) = lim
n→+∞
√ n = +∞ et, si x = 0,
la limite lim
n→+∞
f
n (x) n’existe pas. En effet, si lim
n→+∞
f
n (x) = l, alors pour
n suffisamment grand, |cos nx| <
1
2 . Donc, |cos 2nx| = 1 − 2 cos 2 nx >
1
2 ,
contradiction. On voit donc que {f
n } ne converge en aucun point.
(b) Puisque |f n (x)|
1
2n , la suite converge uniformément sur [−1 , 1]. Par
ailleurs,
lim
n→+∞
f
n (x) = lim
n→+∞
1 − n 2 x 2
(1 + n 2 x 2 )
2 =
1 pour x = 0,
0 pour x = 0.
La limite simple de {f
n } est discontinue en 0 et la convergence ne peut
donc pas être uniforme.
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