Solutions
contredisant le critère de convergence uniforme de Cauchy (voir III.1.7). Il
existe donc n 0 ∈ N ∗ tel que
P n (x) = a n,p x
p + a n,p−1 x
p−1 + · · · + a n,1 x + a n,0
si n n 0 . De nouveau avec le critère de convergence uniforme de Cauchy, on
voit que si n n 0 , alors les coefficients a n,i (i = 1, 2, · · · , p) sont constants (ils
ne dépendent pas de n), autrement dit,
P n (x) = a p x
p + a p−1 x
p−1 + · · · + a 1 x + a n,0 .
Clairement, une telle suite de polynômes converge uniformément sur R vers le
polynôme
P n (x) = a p x
p + a p−1 x
p−1 + · · · + a 1 x + a 0 ,
où a 0 = lim
n→+∞
a n,0 .
III.1.26. Clairement, (i) ⇒ (ii). On prouve que (ii) ⇒ (iii). En effet,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a n,0 + a n,1 c 0 + · · · + a n,p c
p
0 = P n (c 0 ),
a n,0 + a n,1 c 1 + · · · + a n,p c
p
1 = P n (c 1 ),
. . .
a n,0 + a n,1 c p + · · · + a n,p c
p
p = P n (c p ).
(1)
Le déterminant de Vandermonde
1 c 0 c 2
0 . . . c
p
0
1 c 1 c 2
1 . . . c
p
1
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
1 c p c 2
p . . . c
p
p
n’étant pas nul, le système d’équations linéaires (1) admet une unique solution et on peut déterminer les a n,i (i = 0, 1, 2, . . . , p) à l’aide des formules de
Cramer. En conséquence, (ii) implique la convergence de chaque suite {a n,i },
i = 0, 1, 2, . . . , p. L’implication (iii) ⇒ (i) est facile à prouver.
III.1.27. La suite {f n } étant équicontinue, étant donné ε > 0, on peut choisir
δ > 0 tel que pour tout n ∈ N ∗ ,
|f n (x) − f n (y)| <
ε
3
(1)
dès que |x − y| < δ, x, y ∈ K. En faisant tendre n vers +∞, on obtient
|f (x) − f (y)| <
ε
3
.
(2)
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