Chapitre III. Suites et séries de fonctions
Ce prolongement de f est croissant sur R. On montre que si f est continue
en x, alors lim
k→+∞
f n k (x) = f (x). On considère pour ce faire deux suites de
rationnels {p n } et {q n } convergentes vers x et telles que p n < x < q n . La
monotonie de f n k implique f n k (p n ) f n k (x) f n k (q n ). On obtient alors, en
faisant tendre k vers +∞,
f (p n ) lim
k→+∞
f n k (x) lim
k→+∞
f n k (x) f (q n ).
Par passage à la limite lorsque n tend vers +∞ (voir I.1.35), on obtient
f (x
− ) lim
k→+∞
f n k (x) lim
k→+∞
f n k (x) f (x
+ ).
Il s’ensuit que f (x) = lim
k→+∞
f n k (x) en tout point x où f est continue. On sait
que l’ensemble D des points de discontinuité d’une fonction monotone est dénombrable (voir I.2.29). On a donc f (x) = lim
k→+∞
f n k (x) sur l’ensemble R \ D
et, {f n k } étant bornée sur l’ensemble dénombrable D, on peut utiliser à nouveau le procédé d’extraction diagonale pour choisir une sous-suite de {f n k }
simplement convergente sur D. Clairement, cette sous-suite est convergente
sur R.
III.1.24. Si K est un sous-ensemble compact de R, il existe alors un intervalle fermé [a , b] tel que K ⊂ [a , b]. Clairement, f est uniformément continue
sur [a , b]. D’après le résultat de III.1.22, {f n k } converge uniformément sur
[a , b] et converge donc aussi uniformément sur K.
L’exemple suivant montre que {f n k } peut ne pas converger uniformément
sur R. On pose
f n (x) =
1
π
Arctan x +
π
2
n
, x ∈ R.
Chaque f n est strictement croissante sur R et 0 < f n (x) < 1. La suite {f n }
est simplement convergente vers f ≡ 0. Cependant, la convergence n’est pas
uniforme.
III.1.25. On montre d’abord que si {P n } est une suite de polynômes uniformément convergente sur R, alors tous les polynômes P n sont du même degré
à partir d’une certaine valeur de l’indice n. En effet, si ce n’était pas le cas,
pour tout k ∈ N ∗ , il existerait alors n k > k tel que le degré de P k différerait
de celui de P n k et
sup
x∈R
|P n k (x) − P k (x)| = +∞,
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Ce prolongement de f est croissant sur R. On montre que si f est continue
en x, alors lim
k→+∞
f n k (x) = f (x). On considère pour ce faire deux suites de
rationnels {p n } et {q n } convergentes vers x et telles que p n < x < q n . La
monotonie de f n k implique f n k (p n ) f n k (x) f n k (q n ). On obtient alors, en
faisant tendre k vers +∞,
f (p n ) lim
k→+∞
f n k (x) lim
k→+∞
f n k (x) f (q n ).
Par passage à la limite lorsque n tend vers +∞ (voir I.1.35), on obtient
f (x
− ) lim
k→+∞
f n k (x) lim
k→+∞
f n k (x) f (x
+ ).
Il s’ensuit que f (x) = lim
k→+∞
f n k (x) en tout point x où f est continue. On sait
que l’ensemble D des points de discontinuité d’une fonction monotone est dénombrable (voir I.2.29). On a donc f (x) = lim
k→+∞
f n k (x) sur l’ensemble R \ D
et, {f n k } étant bornée sur l’ensemble dénombrable D, on peut utiliser à nouveau le procédé d’extraction diagonale pour choisir une sous-suite de {f n k }
simplement convergente sur D. Clairement, cette sous-suite est convergente
sur R.
III.1.24. Si K est un sous-ensemble compact de R, il existe alors un intervalle fermé [a , b] tel que K ⊂ [a , b]. Clairement, f est uniformément continue
sur [a , b]. D’après le résultat de III.1.22, {f n k } converge uniformément sur
[a , b] et converge donc aussi uniformément sur K.
L’exemple suivant montre que {f n k } peut ne pas converger uniformément
sur R. On pose
f n (x) =
1
π
Arctan x +
π
2
n
, x ∈ R.
Chaque f n est strictement croissante sur R et 0 < f n (x) < 1. La suite {f n }
est simplement convergente vers f ≡ 0. Cependant, la convergence n’est pas
uniforme.
III.1.25. On montre d’abord que si {P n } est une suite de polynômes uniformément convergente sur R, alors tous les polynômes P n sont du même degré
à partir d’une certaine valeur de l’indice n. En effet, si ce n’était pas le cas,
pour tout k ∈ N ∗ , il existerait alors n k > k tel que le degré de P k différerait
de celui de P n k et
sup
x∈R
|P n k (x) − P k (x)| = +∞,
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