Solutions
III.1.22. On suppose, par exemple, que les fonctions f n sont croissantes sur
[a , b]. Évidemment, f est uniformément continue sur [a , b]. Soit ε > 0. Par
continuité uniforme de f , il existe δ > 0 tel que
f (x) − f (x
)
<
ε
2
dès que |x − x | < δ, x, x ∈ [a , b]. On choisit a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < x k = b
de sorte que |x i − x i−1 | < δ, i = 1, 2, . . . , k. Puisque
lim
n→+∞
f n (x i ) = f (x i ), i = 1, 2, . . . , k,
il existe n 0 tel que
|f n (x i ) − f (x i )| <
ε
2
(i = 1, 2, . . . , k)
(∗)
si n > n 0 . Clairement, pour x ∈ [a , b], il existe i tel que x i−1 x < x i . La
monotonie de f n et (∗) impliquent alors
f (x i−1 ) −
ε
2
< f n (x i−1 ) f n (x) f n (x i ) < f(x i ) +
ε
2
pour n > n 0 . La fonction f devant être croissante, on a f (x i−1 ) f (x) f (x i ),
ce qui, combiné à la continuité uniforme de f , donne
−ε < f(x i−1 ) − f (x i ) −
ε
2
f n (x) − f (x) f (x i ) − f (x i−1 ) +
ε
2
< ε.
La convergence uniforme de {f n } sur [a , b] est donc prouvée.
III.1.23. On suppose, par exemple, que les fonctions f n sont croissantes
sur R. On prouve d’abord qu’il existe une sous-suite f n k convergente sur l’ensemble Q des rationnels. Q étant dénombrable, on peut écrire Q = {r 1 , r 2 , . . . }.
La suite {f n (r 1 )} est bornée et contient donc une sous-suite convergente
{f n,1 (r 1 )}. Puis, puisque {f n,1 (r 2 )} est bornée, il existe une sous-suite convergente {f n,2 (r 2 )}. Clairement, {f n,2 (r 1 )} est aussi convergente. En répétant le
procédé, on obtient la suite de suites {f n,1 }, {f n,2 }, . . . , ayant les propriétés
suivantes :
• {f n,k+1 } est une sous-suite de {f n,k } pour k ∈ N ∗ ,
• la suite {f n,k (r i )} est convergente pour k ∈ N ∗ et i = 1, 2, . . . , k.
La suite diagonale {f n,n } est donc convergente dans Q. On a construit de cette
façon une sous-suite {f n k } simplement convergente sur Q vers une limite que
l’on note f . Clairement, f est croissante sur Q. On prolonge maintenant f à
R en posant
f (x) = sup {f (r) : r ∈ Q, r x} .
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III.1.22. On suppose, par exemple, que les fonctions f n sont croissantes sur
[a , b]. Évidemment, f est uniformément continue sur [a , b]. Soit ε > 0. Par
continuité uniforme de f , il existe δ > 0 tel que
f (x) − f (x
)
<
ε
2
dès que |x − x | < δ, x, x ∈ [a , b]. On choisit a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < x k = b
de sorte que |x i − x i−1 | < δ, i = 1, 2, . . . , k. Puisque
lim
n→+∞
f n (x i ) = f (x i ), i = 1, 2, . . . , k,
il existe n 0 tel que
|f n (x i ) − f (x i )| <
ε
2
(i = 1, 2, . . . , k)
(∗)
si n > n 0 . Clairement, pour x ∈ [a , b], il existe i tel que x i−1 x < x i . La
monotonie de f n et (∗) impliquent alors
f (x i−1 ) −
ε
2
< f n (x i−1 ) f n (x) f n (x i ) < f(x i ) +
ε
2
pour n > n 0 . La fonction f devant être croissante, on a f (x i−1 ) f (x) f (x i ),
ce qui, combiné à la continuité uniforme de f , donne
−ε < f(x i−1 ) − f (x i ) −
ε
2
f n (x) − f (x) f (x i ) − f (x i−1 ) +
ε
2
< ε.
La convergence uniforme de {f n } sur [a , b] est donc prouvée.
III.1.23. On suppose, par exemple, que les fonctions f n sont croissantes
sur R. On prouve d’abord qu’il existe une sous-suite f n k convergente sur l’ensemble Q des rationnels. Q étant dénombrable, on peut écrire Q = {r 1 , r 2 , . . . }.
La suite {f n (r 1 )} est bornée et contient donc une sous-suite convergente
{f n,1 (r 1 )}. Puis, puisque {f n,1 (r 2 )} est bornée, il existe une sous-suite convergente {f n,2 (r 2 )}. Clairement, {f n,2 (r 1 )} est aussi convergente. En répétant le
procédé, on obtient la suite de suites {f n,1 }, {f n,2 }, . . . , ayant les propriétés
suivantes :
• {f n,k+1 } est une sous-suite de {f n,k } pour k ∈ N ∗ ,
• la suite {f n,k (r i )} est convergente pour k ∈ N ∗ et i = 1, 2, . . . , k.
La suite diagonale {f n,n } est donc convergente dans Q. On a construit de cette
façon une sous-suite {f n k } simplement convergente sur Q vers une limite que
l’on note f . Clairement, f est croissante sur Q. On prolonge maintenant f à
R en posant
f (x) = sup {f (r) : r ∈ Q, r x} .
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