Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.1.20. Soit {x n } une suite d’éléments de A convergente vers x ∈ A et
ε > 0. La convergence uniforme de {f n } implique
|f (x n ) − f n (x n )| sup
y∈A
|f (y) − f n (y)| <
ε
2
pour n n 0 .
La fonction f étant continue,
|f (x n ) − f (x)| <
ε
2
pour n n 1 .
On a donc, pour n max {n 0 , n 1 },
|f n (x n ) − f (x)| |f n (x n ) − f (x n )| + |f (x n ) − f (x)| < ε.
La réciproque de la proposition prouvée ici est fausse comme le montre
l’exemple suivant. On prend A = ]0 , 1[ et f n (x) = x n . On voit facilement
que {f n } ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur ]0 , 1[. En
revanche, elle converge continûment sur cet intervalle. En effet, si {x n } est une
suite de points de ]0 , 1[ convergente vers x ∈ ]0 , 1[, il existe alors 0 < a < 1
tel que x n < a et lim
n→+∞
f n (x n ) = 0.
III.1.21. L’implication (i) ⇒ (ii) a été prouvée au problème précédent. Notre
but est de prouver (ii) ⇒ (i). On sait (voir III.1.19) que la limite f est continue sur K. On suppose, contrairement à l’énoncé, que {f n } ne converge pas
uniformément sur K. Il existe alors ε 0 > 0, une suite {n k } d’éléments de N ∗
et une suite {x k } d’éléments de K tels que
|f n k (x k ) − f (x k )| > ε 0 .
K étant compact, on peut supposer, sans perte de généralité, que {x k } converge
vers un élément x ∈ K. D’autre part, d’après III.1.18,
|f n k (x k ) − f (x)| <
ε 0
3
pour k > k 0 .
De plus, la continuité de f implique
|f (x k ) − f (x)| <
ε 0
3
pour k > k 1 .
Donc, pour k suffisamment grand, on a
ε 0 < |f n k (x k ) − f (x k )| |f n k (x k ) − f (x)| + |f (x) − f (x k )| <
2
3
ε 0 ,
contradiction.
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III.1.20. Soit {x n } une suite d’éléments de A convergente vers x ∈ A et
ε > 0. La convergence uniforme de {f n } implique
|f (x n ) − f n (x n )| sup
y∈A
|f (y) − f n (y)| <
ε
2
pour n n 0 .
La fonction f étant continue,
|f (x n ) − f (x)| <
ε
2
pour n n 1 .
On a donc, pour n max {n 0 , n 1 },
|f n (x n ) − f (x)| |f n (x n ) − f (x n )| + |f (x n ) − f (x)| < ε.
La réciproque de la proposition prouvée ici est fausse comme le montre
l’exemple suivant. On prend A = ]0 , 1[ et f n (x) = x n . On voit facilement
que {f n } ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur ]0 , 1[. En
revanche, elle converge continûment sur cet intervalle. En effet, si {x n } est une
suite de points de ]0 , 1[ convergente vers x ∈ ]0 , 1[, il existe alors 0 < a < 1
tel que x n < a et lim
n→+∞
f n (x n ) = 0.
III.1.21. L’implication (i) ⇒ (ii) a été prouvée au problème précédent. Notre
but est de prouver (ii) ⇒ (i). On sait (voir III.1.19) que la limite f est continue sur K. On suppose, contrairement à l’énoncé, que {f n } ne converge pas
uniformément sur K. Il existe alors ε 0 > 0, une suite {n k } d’éléments de N ∗
et une suite {x k } d’éléments de K tels que
|f n k (x k ) − f (x k )| > ε 0 .
K étant compact, on peut supposer, sans perte de généralité, que {x k } converge
vers un élément x ∈ K. D’autre part, d’après III.1.18,
|f n k (x k ) − f (x)| <
ε 0
3
pour k > k 0 .
De plus, la continuité de f implique
|f (x k ) − f (x)| <
ε 0
3
pour k > k 1 .
Donc, pour k suffisamment grand, on a
ε 0 < |f n k (x k ) − f (x k )| |f n k (x k ) − f (x)| + |f (x) − f (x k )| <
2
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ε 0 ,
contradiction.
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