Solutions
On obtient ainsi
f n (x) − f n (x
)
|f n (x) − f n 0 (x)|+
f n 0 (x) − f n 0 (x
)
+
f n 0 (x
) − f n (x
)
< ε
pour |x − x | < δ et n > n 0 . Ceci, combiné à (∗), prouve l’équicontinuité de la
suite {f n } sur K.
III.1.18. Soit {f n k } une sous-suite de {f n } et {x n } une suite d’éléments de A
convergente vers x ∈ A. On définit la suite {y m } en posant
y m =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 pour 1 m n 1 ,
x 2 pour n 1 < m n 2 ,
. . .
x k pour n k−1 m n k .
. . .
La suite {y m } converge vers x donc lim
m→+∞
f m (y m ) = f (x) et
lim
k→+∞
f n k (y n k ) = lim
k→+∞
f n k (x k ) = f (x).
III.1.19. On note d’abord que si {f n } converge continûment sur A vers f ,
alors {f n } converge simplement vers la même limite. Il suffit pour s’en rendre
compte de considérer des suites constantes dont tous les termes sont égaux à
un élément de A. Soit x ∈ A et {x n } une suite d’éléments de A convergente
vers x. Étant donné ε > 0, la convergence simple de la suite implique qu’il
existe n 1 (pouvant dépendre de x 1 ) tel que
|f n 1 (x 1 ) − f (x 1 )| <
ε
2
.
De même, il existe n 2 (pouvant dépendre de x 2 ), n 2 > n 1 , tel que
|f n 2 (x 2 ) − f (x 2 )| <
ε
2
.
En poursuivant le procédé, on obtient une suite {n k } telle que
|f n k (x k ) − f (x k )| <
ε
2
, k ∈ N
∗ .
De plus, d’après le problème précédent,
|f n k (x k ) − f (x)| <
ε
2
pour k k 0 .
En conséquence, |f (x k ) − f (x)| |f n k (x k ) − f (x k )| + |f n k (x k ) − f (x)| < ε
pour k k 0 .
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