Chapitre III. Suites et séries de fonctions
ne sont pas continues. Elles forment une suite monotone simplement convergente vers 0 sur [0 , 1], mais la convergence n’est pas uniforme.
Finalement, les fonctions définies par
f n (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2n 2 x
si 0 x
1
2n ,
n − 2n 2
x −
1
2n
si
1
2n < x
1
n ,
0
si
1
n < x 1
sont continues et forment une suite simplement convergente vers la fonction
nulle sur [0 , 1]. On note que la suite {f n } n’est pas monotone et la convergence
n’est pas uniforme.
III.1.17. Soit {f n } une suite de fonctions continues uniformément convergente sur un ensemble compact K vers une limite f . On se donne ε > 0. On
choisit n 0 tel que (voir III.1.7)
|f n (x) − f n 0 (x)| <
ε
3
pour n > n 0 et tout x ∈ K.
Ensuite, chaque fonction f n étant uniformément continue sur K, on peut choisir δ > 0 tel que si x, x ∈ K et |x − x | < δ, alors
f k (x) − f k (x
)
<
ε
3
pour 1 k n 0 .
(∗)
304
ne sont pas continues. Elles forment une suite monotone simplement convergente vers 0 sur [0 , 1], mais la convergence n’est pas uniforme.
Finalement, les fonctions définies par
f n (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2n 2 x
si 0 x
1
2n ,
n − 2n 2
x −
1
2n
si
1
2n < x
1
n ,
0
si
1
n < x 1
sont continues et forment une suite simplement convergente vers la fonction
nulle sur [0 , 1]. On note que la suite {f n } n’est pas monotone et la convergence
n’est pas uniforme.
III.1.17. Soit {f n } une suite de fonctions continues uniformément convergente sur un ensemble compact K vers une limite f . On se donne ε > 0. On
choisit n 0 tel que (voir III.1.7)
|f n (x) − f n 0 (x)| <
ε
3
pour n > n 0 et tout x ∈ K.
Ensuite, chaque fonction f n étant uniformément continue sur K, on peut choisir δ > 0 tel que si x, x ∈ K et |x − x | < δ, alors
f k (x) − f k (x
)
<
ε
3
pour 1 k n 0 .
(∗)
304