Solutions
La continuité uniforme de f n 0 implique qu’il existe δ > 0 tel que
|f n 0 (x) − f n 0 (x )| <
ε
3 pour |x − x | < δ. Donc,
f (x) − f (x
)
|f (x) − f n 0 (x)| +
f n 0 (x) − f n 0 (x
)
+
f n 0 (x
) − f (x
)
< ε
pour |x − x | < δ.
III.1.16. On pose g n (x) = f n (x) − f (x) pour x ∈ K et on montre que {g n }
converge uniformément vers 0 sur K. Soit ε > 0. Puisque {g n } est simplement
convergente vers 0 sur K, pour tout x ∈ K, il existe n x tel que
0 g nx (x) <
ε
2
.
Par continuité de g nx et monotonie de la suite {g n }, il existe un voisinage O(x)
de x tel que
0 g n (t) < ε pour n n x et t ∈ O(x).
(∗)
K étant compact, il existe un nombre fini de points x 1 , . . . , x n ∈ K tels que
K ⊂ O(x 1 ) ∪ O(x 2 ) ∪ · · · ∪ O(x n ). Si maintenant,
n 0 = max {n x 1 , n x 2 , . . . , n xn } ,
alors (∗) est vérifiée pour n > n 0 et tout x ∈ K.
Pour voir que la compacité de K est essentielle, on considère
f n (x) =
1
1 + nx
, x ∈ ]0 , 1[ , n ∈ N
∗ .
On a d n = sup
]0,1[
|f n (x) − f (x)| = 1 et la convergence n’est donc pas uniforme.
La continuité de la limite est aussi essentielle. En effet, la suite
f n (x) = x
n , x ∈ [0 , 1], n ∈ N
∗ ,
ne converge pas uniformément sur [0 , 1].
L’hypothèse de continuité de f n ne peut pas être omise comme le montre
l’exemple suivant. Les fonctions
f n (x) =
0 si x = 0 ou
1
n x 1,
1 si 0 < x <
1
n
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