Chapitre III. Suites et séries de fonctions
et on a donc, par définition de P n+1 ,
√
x − P n+1 (x) =
√
x − P n (x)
1 −
1
2
√
x + P n (x)
et
√
x − P n+1 (x) 0. De plus,
√
x − P n+1 (x)
2
√ x
2 + n
√
x
1 −
√
x
2
2
√
x
2 + n
√
x
1 −
√
x
2 + (n + 1)
√ x
=
2
√
x
2 + (n + 1)
√
x
.
Puisque |x| =
√
x 2 , les inégalités prouvées impliquent que la suite de polynômes
P n
x 2
converge uniformément sur [−1 , 1] vers la fonction valeur
absolue |x|.
III.1.14. D’après le théorème des accroissements finis, on a
f
x +
1
n
− f (x)
1
n
− f
(x)
=
f
(ζ n ) − f
(x)
,
où ζ n ∈
x , x +
1
n
. La dérivée f étant uniformément continue sur R, étant
donné ε > 0, il existe n 0 tel que si n n 0 , alors
f
(ζ n ) − f
(x)
< ε pour tout x ∈ R.
La convergence uniforme sur R est donc prouvée.
On considère f (x) = x 3 , x ∈ R. On a alors
d n = sup
x∈R
f
x +
1
n
− f (x)
1
n
− f
(x)
= sup
x∈R
3x
1
n
+
1
n 2
= +∞,
ce qui montre que la convergence n’est pas uniforme. L’hypothèse de continuité
uniforme de f est donc essentielle.
III.1.15. Soit ε > 0. La convergence uniforme de la suite sur R implique
qu’il existe n 0 ∈ N tel que
|f n 0 (x) − f (x)| <
ε
3
pour tout x ∈ R.
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