Solutions
(e) Puisque d n = f n
n
n+4
− −−−− →
n→+∞
0, la convergence est uniforme.
(f) La suite est uniformément convergente car
d n = sup {|f n (x) − x| : x ∈ [0 , 1]} = 1 − f n (1) =
1
n + 1
− −−−− →
n→+∞
0.
(g) La suite converge simplement vers
f (x) =
1 pour x ∈ [0 , 1[,
1
2
pour x = 1.
La limite n’est pas une fonction continue et la convergence n’est donc
pas uniforme (voir I.2.34).
III.1.9.
(a) On prouve facilement que f n (x) − −−−− →
n→+∞
0 et d n =
1
4 . La convergence
n’est donc pas uniforme sur A. D’autre part,
sup {|f n − (x)| : x ∈ B} =
1
√
2
n
1 −
1
√
2
n
pour n 2 et la suite converge donc uniformément sur B.
(b) La suite converge uniformément sur R vers la fonction nulle et elle
converge aussi uniformément sur tout sous-ensemble de R.
III.1.10.
(a) Puisque d n = Arctan
1
√
n 3 , {f n } converge uniformément sur R vers la
fonction nulle.
(b) f n (x) − −−−− →
n→+∞
x 2 et, puisque f n (
√
n) − n = n(ln 2 − 1), la convergence
ne peut pas être uniforme sur R.
(c) On a f n (x) − −−−− →
n→+∞
1
x . La suite ne converge pas uniformément sur R ∗
+
car f n
1
n
− n = n(ln 2 − 1).
(d) f n (x) − −−−− →
n→+∞
f (x) où
f (x) =
1
si |x| 1,
|x| si |x| > 1.
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