Chapitre III. Suites et séries de fonctions
La limite simple d’une suite convergente de fonctions bornées n’est pas nécessairement bornée comme le montre, par exemple, la suite
f n (x) = min
1
x
, n
, x ∈ ]0 , 1[ , n ∈ N
∗ .
La suite {f n } converge vers la fonction non bornée x → 1/x pour x ∈ ]0 , 1[.
III.1.6. Pour x ∈ R, lim
n→+∞
f n (x) = 0. La convergence n’est pas uniforme
sur R car d 2n = +∞. Clairement, la sous-suite {f 2n−1 } est uniformément
convergente sur R.
III.1.7. La démonstration se mène comme en III.1.4.
III.1.8.
(a) On a
1
1 + (nx − 1)
2 − −−−− →
n→+∞
f (x),
où
f (x) =
0 pour x ∈ ]0 , 1],
1
2
pour x = 0.
La limite n’étant pas continue, la convergence n’est pas uniforme
(voir I.2.34).
(b) On a
x 2
x 2 + (nx − 1)
2 − −−−− →
n→+∞
0
et d n = sup {|f n (x) − 0| : x ∈ [0 , 1]} = f n
1
n
= 1. D’après III.1.1, la
convergence n’est pas uniforme.
(c) Puisque
x
n (1 − x) − −−−− →
n→+∞
0
et d n = sup {|f n (x) − 0| : x ∈ [0 , 1]} = f n
n
n+1
=
n n
(n+1)
n+1 , on voit que
{f n } converge uniformément sur [0 , 1].
(d) La convergence n’est pas uniforme car
d n =
n n+1
(n + 1)
n+1 − −−−− →
n→+∞
1
e
.
298