Solutions
III.1.3. On remarque d’abord que si {g n } converge uniformément sur A vers
une fonction bornée g, il existe alors C > 0 tel que |g n (x)| C pour tout x ∈ A
et pour n suffisamment grand. Étant donné ε > 0, la convergence uniforme de
{f n } et {g n } donne
|f n (x) − f (x)| <
ε
2C
et |g n (x) − g(x)| <
ε
2M
pour n suffisamment grand et pour tout x ∈ A. Donc, pour n suffisamment
grand et pour tout x ∈ A,
|f n (x)g n (x) − f (x)g(x)| |f n (x) − f (x)| |g n (x)| + |g n (x) − g(x)| |f (x)| < ε.
III.1.4. Le critère de Cauchy pour la convergence des suites réelles implique
que {f n } est simplement convergente sur A vers une limite que l’on note f .
Notre but est de prouver que la convergence est uniforme. Soit ε > 0. Par
hypothèse, il existe n 0 tel que
|f n (x) − f m (x)| <
ε
2
pour tout x ∈ A si m, n > n 0 . Par continuité de la valeur absolue, on obtient
lim
m→+∞
|f n (x) − f m (x)| = |f n (x) − f (x)|
ε
2
< ε
pour tout x ∈ A et tout n n 0 .
III.1.5. Soit {f n } une suite de fonctions bornées et uniformément convergente sur A vers f . Étant donné ε > 0, il existe n 0 ∈ N tel que
|f (x)| |f n 0 (x) − f (x)| + |f n 0 (x)| < ε + |f n 0 (x)|
pour tout x ∈ A. Puisque f n 0 est bornée sur A, il en est de même pour f .
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