Chapitre III. Suites et séries de fonctions
Solutions
III.1. Suites de fonctions, convergence uniforme
III.1.1. On suppose d’abord que f n ⇒
B
f . Étant donné ε > 0, il existe n 0 tel
que
|f n (x) − f (x)| < ε
pour tout n n 0 et tout x ∈ B. Donc, pour n n 0 ,
d n = sup {|f n (x) − f (x)| : x ∈ B} ε
et lim
n→+∞
d n = 0.
On suppose maintenant que lim
n→+∞
d n = 0. On a alors
|f n (x) − f (x)| sup {|f n (x) − f (x)| : x ∈ B} < ε
pour n suffisamment grand et pour tout x ∈ B, ce qui signifie que {f n } est
uniformément convergente vers f sur B.
III.1.2. Étant donné ε > 0, on a
|f n (x) − f (x)| <
ε
2
et |g n (x) − g(x)| <
ε
2
pour n suffisamment grand et pour tout x ∈ A. Donc,
|f n (x) + g n (x) − (f (x) + g(x))| |f n (x) − f (x)| + |g n (x) − g(x)| < ε
pour n suffisamment grand et pour tout x ∈ A. Pour voir que la proposition
analogue pour le produit de deux suites uniformément convergentes est fausse,
on considère les fonctions suivantes :
f n (x) = x
1 −
1
n
et g n (x) =
1
x 2 , x ∈ ]0 , 1[ .
On a f n ⇒
]0 ,1[
f et g n ⇒
]0 ,1[
g avec f (x) = x et g(x) =
1
x 2 . De plus,
f n (x)g n (x) =
1
x
1 −
1
n
.
La suite {f n g n } est donc simplement convergente sur ]0 , 1[ vers la fonction
x →
1
x . Mais
d n = sup
f n g n (x) −
1
x
: x ∈ ]0 , 1[
= +∞ (n ∈ N
∗ )
et la convergence n’est pas uniforme.
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