Énoncés
III.4.24. Prouver qu’il existe une unique fonction f dérivable sur R ∗
+ telle que
f −1 = f .
III.4.25. Prouver que l’unique fonction vérifiant les hypothèses du problème
précédent est f (x) = ax c , où c =
1+
√
5
2
et a = c 1−e .
III.4.26. Appliquer le résultat de II.3.10 pour montrer que, pour x ∈ ]0 , 2[,
ln(1 + x) = 2
+∞
n=0
1
2n + 1
x
2 + x
2n+1
.
III.4.27. Soit M p (x, y) et L(x, y) la moyenne des puissances et la moyenne logarithmique des réels strictement positifs x et y (voir II.5.41 et II.5.42). Prouver
que L(x, y) < M p (x, y) pour x, y > 0 et x = y si p
1
3 .
III.4.28. Avec les notations de III.4.27, prouver qu’il existe des réels strictement positifs x et y tels que L(x, y) > M p (x, y) si p <
1
3 .
III.4.29. Avec les notations de III.4.27, prouver que L(x, y) > M p (x, y) pour
x, y > 0 et x = y si p 0.
III.4.30. Avec les notations de III.4.27, prouver qu’il existe des réels strictement positifs x et y tels que L(x, y) < M p (x, y) si p > 0.
295
III.4.24. Prouver qu’il existe une unique fonction f dérivable sur R ∗
+ telle que
f −1 = f .
III.4.25. Prouver que l’unique fonction vérifiant les hypothèses du problème
précédent est f (x) = ax c , où c =
1+
√
5
2
et a = c 1−e .
III.4.26. Appliquer le résultat de II.3.10 pour montrer que, pour x ∈ ]0 , 2[,
ln(1 + x) = 2
+∞
n=0
1
2n + 1
x
2 + x
2n+1
.
III.4.27. Soit M p (x, y) et L(x, y) la moyenne des puissances et la moyenne logarithmique des réels strictement positifs x et y (voir II.5.41 et II.5.42). Prouver
que L(x, y) < M p (x, y) pour x, y > 0 et x = y si p
1
3 .
III.4.28. Avec les notations de III.4.27, prouver qu’il existe des réels strictement positifs x et y tels que L(x, y) > M p (x, y) si p <
1
3 .
III.4.29. Avec les notations de III.4.27, prouver que L(x, y) > M p (x, y) pour
x, y > 0 et x = y si p 0.
III.4.30. Avec les notations de III.4.27, prouver qu’il existe des réels strictement positifs x et y tels que L(x, y) < M p (x, y) si p > 0.
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