Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.4.17. Soit f une fonction analytique réelle sur un intervalle ouvert I. Montrer
que, pour tout x 0 ∈ I, il existe un intervalle ouvert J ⊂ I tel que x 0 ∈ J et des
constantes strictement positives A et B telles que
f
(n) (x)
A
n!
B n pour tout x ∈ J.
III.4.18. Appliquer la formule de Faà di Bruno (voir II.1.38) pour prouver que,
pour tout n ∈ N ∗ et tout A > 0, on a
k!
k 1 !k 2 ! · · · k n !
A
k = A (1 + A)
n−1
où k = k 1 + k 2 + · · · + k n et la somme est prise sur l’ensemble des indices
k 1 , k 2 , . . . , k n tels que k 1 + 2k 2 + · · · + nk n = n.
III.4.19. Soit I et J des intervalles ouverts et f : I −→ J, g : J −→ R des
fonctions analytiques réelles, respectivement sur I et J. Démontrer que h = g ◦ f
est une fonction analytique réelle sur I.
III.4.20. Soit f une fonction C ∞ sur un intervalle ouvert I telle que
(−1)
n f (n) (x) 0 pour tout x ∈ I et n ∈ N ∗ . Prouver que f est une fonction
analytique réelle sur I.
III.4.21. Appliquer la formule de Faà di Bruno pour montrer que, pour tout
n ∈ N ∗ ,
(−1)
k k!
k 1 !k 2 ! · · · k n !
1
2
1
k 1 1
2
2
k 2
· · ·
1
2
n
kn
= 2(n + 1)
1
2
n + 1
où k = k 1 + k 2 + · · · + k n et la somme est prise sur l’ensemble des indices
k 1 , k 2 , . . . , k n tels que k 1 + 2k 2 + · · · + nk n = n et
α
k
=
α(α−1)···(α−k+1)
k!
.
III.4.22. Soit f une fonction analytique réelle sur un intervalle ouvert I. Prouver
que si f (x 0 ) = 0 pour un x 0 ∈ I, il existe alors un intervalle ouvert J contenant
x 0 et une fonction analytique réelle g définie sur un intervalle ouvert K contenant
f (x 0 ) tels que (g ◦ f )(x) = x pour tout x ∈ J et (f ◦ g)(x) = x pour tout x ∈ K.
III.4.23. Prouver que si f est dérivable sur R ∗
+ et si f −1 = f , f est alors
analytique réelle sur R ∗
+ .
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