Énoncés
III.4.12. Trouver la série de Taylor de f en 0 lorsque
(a)
f (x) = x Arctan x −
1
2
ln
1 + x
2
, x ∈ ]−1 , 1[ ,
(b)
f (x) = x Arcsin x +
1 − x 2 ,
x∈ ]−1 , 1[ .
III.4.13. Trouver la somme des séries
(a)
+∞
n=1
(−1)
n+1
n(n + 1)
,
(b)
+∞
n=0
(−1)
n n
(2n + 1)!
,
(c)
+∞
n=2
(−1)
n
n 2 + n − 2
,
(d)
+∞
n=1
(−1)
n−1
n(2n − 1)
,
(e)
+∞
n=1
(−1)
n (2n − 1)!!
(2n)!!
,
(f)
+∞
n=0
3 n (n + 1)
n!
.
III.4.14. Trouver la somme de la série
+∞
n=1
((n−1)!)
2
(2n)! (2x)
2n pour |x| 1.
III.4.15. Démontrer, en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral
(voir II.3.4), le théorème suivant de Berstein. Soit f une fonction infiniment dérivable sur un intervalle ouvert I telle que toutes ses dérivées f (n) soient positives
sur I. Prouver que f est une fonction analytique réelle sur I, autrement dit une
fonction telle que, pour tout x 0 ∈ I, il existe un voisinage ]x 0 − r , x 0 + r[ ⊂ I où
f (x) =
+∞
n=0
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
pour |x − x 0 | < r.
III.4.16. Soit f une fonction infiniment dérivable sur un intervalle ouvert I.
Prouver que si, pour tout x 0 ∈ I, il existe un intervalle ouvert J ⊂ I tel que
x 0 ∈ J et s’il existe des constantes C > 0 et ρ > 0 telles que
f
(n) (x)
C
n!
ρ n pour x ∈ J,
alors
f (x) =
+∞
n=0
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
pour x ∈ ]x 0 − ρ , x 0 + ρ[ ∩ J.
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