Chapitre III. Suites et séries de fonctions
Prouver (1) que si A admet un point d’accumulation dans ]−R , R[, alors a n = b n
pour tout n ∈ N.
III.4.9. Trouver la série de Taylor de f en 0 lorsque
(a)
f (x) = sin x
3 , x ∈ R,
(b)
f (x) = sin
3 x, x ∈ R,
(c)
f (x) = sin x cos 3x, x ∈ R,
(d)
f (x) = sin
6 x + cos
6 x, x ∈ R,
(e)
f (x) =
1
2
ln
1 + x
1 − x
, x ∈ ]−1 , 1[ ,
(f)
f (x) = ln
1 + x + x
2
, x ∈ ]−1 , 1[ ,
(g)
f (x) =
1
1 − 5x + 6x 2 , x ∈ ]−1/3 , 1/3[ ,
(h)
f (x) =
e x
1 − x
, x ∈ ]−1 , 1[ .
III.4.10. Trouver la série de Taylor de la fonction f en 1 lorsque
(a)
f (x) = (x + 1)e
x , x ∈ R,
(b)
f (x) =
e x
x
, x = 0,
(c)
f (x) =
cos x
x
, x = 0,
(d)
f (x) =
ln x
x
, x > 0.
III.4.11. Établir pour |x| < 1 les égalités suivantes :
(a)
Arcsin x = x +
+∞
n=1
(2n − 1)!!
(2n)!!(2n + 1)
x
2n+1 ,
(b)
Arctan x =
+∞
n=0
(−1)
n
1
2n + 1
x
2n+1 .
Montrer, en utilisant les identités précédentes, que
π
6
=
1
2
+
+∞
n=1
(2n − 1)!!
2 2n+1 (2n)!!(2n + 1)
et
π
4
=
+∞
n=0
(−1)
n
1
2n + 1
.
(1) Cette propriété est appelée le principe de prolongement analytique. (N.d.T.)
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