Énoncés
III.4.3. On pose f (x) =
+∞
n=0
cos(n 2 x)
e n
, x ∈ R. Montrer que f appartient à C ∞
R et
que l’égalité
f (x) =
+∞
n=0
f (n) (0)
n!
x
n
n’est vérifiée qu’en 0.
III.4.4. Montrer que si α ∈ R \ N ∗ et |x| < 1, on a alors
(1 + x)
α = 1 +
+∞
n=1
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
x
n .
On appelle cette identité la formule du binôme de Newton.
III.4.5. Montrer que, pour |x| 1, on a
|x| = 1 −
1
2
(1 − x)
2
−
+∞
n=2
(2n − 3)!!
(2n)!!
1 − x
2
n .
III.4.6. Prouver que si la série entière
+∞
n=0
a n x n a un rayon de convergence R > 0
et si f (x) =
+∞
n=0
a n x n pour x ∈ ]−R , R[, alors f ∈ C ∞
]−R,R[ et
a n =
f (n) (0)
n!
pour n ∈ N.
III.4.7. Prouver que si x 0 appartient à l’intervalle de convergence ]−R , R[
(R > 0) de la série entière f (x) =
+∞
n=0
a n x n , alors
f (x) =
+∞
n=0
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
pour |x − x 0 | < R − |x 0 | .
III.4.8. Soit
+∞
n=0
a n x n et
+∞
n=0
b n x n des séries entières convergentes sur le même
intervalle ]−R , R[. Soit A l’ensemble des x ∈ ]−R , R[ pour lesquels
+∞
n=0
a n x
n =
+∞
n=0
b n x
n .
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