Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.3.25. Démontrer le théorème de Hardy et Littlewood . Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n
une série entière à coefficients positifs de rayon de convergence égal à 1 telle que
lim
x→1 −
f (x)(1 − x) = A ∈ R ∗
+ . On a
lim
n→+∞
S n
n
= A
où S n = a 0 + a 1 + · · · + a n .
III.3.26. Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n une série entière de rayon de convergence égal
à 1. Prouver que si la suite {na n } est bornée et lim
x→1 −
f (x) = L, L ∈ R, la série
+∞
n=0
a n converge et a pour somme L.
III.3.27. Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n une série entière de rayon de convergence égal
à 1. Prouver que si lim
x→1 −
(1 − x)f (x) existe et n’est pas nulle, alors la suite {a n }
ne peut pas converger vers 0.
III.4. Séries de Taylor
III.4.1. Soit f une fonction appartenant à C ∞
[a,b] . Prouver que si toutes les dérivées f (n) sont uniformément bornées sur [a , b], on a alors
f (x) =
+∞
n=0
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
pour x et x 0 dans [a , b].
III.4.2. On pose
f (x) =
e
−
1
x 2
si x = 0,
0
si x = 0.
A-t-on l’égalité
f (x) =
+∞
n=0
f (n) (0)
n!
x
n
pour x = 0 ?
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