Énoncés
III.3.19. Démontrer la généralisation suivante du théorème de Tauber. Soit
f (x) =
+∞
n=0
a n x n une série entière de rayon de convergence égal à 1. Si
lim
n→+∞
a 1 + 2a 2 + · · · + na n
n
= 0 et
lim
x→1 −
f (x) = L, L ∈ R,
alors la série
+∞
n=0
a n converge vers L.
III.3.20. Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n une série entière de rayon de convergence égal
à 1. Prouver que si
+∞
n=0
na 2
n converge et si lim
x→1 −
f (x) = L, L ∈ R, alors
+∞
n=0
a n
converge et a pour somme L.
III.3.21. Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n et g(x) =
+∞
n=0
b n x n deux séries entières de même
rayon de convergence égal à 1 telles que a n , b n > 0 pour tout n ∈ N. On suppose
de plus que lim
x→1 −
f (x) = lim
x→1 −
g(x) = +∞. Prouver que si lim
n→+∞
an
bn = A ∈ R + ,
on a alors aussi lim
x→1 −
f (x)
g(x) = A.
III.3.22. Prouver la généralisation suivante du problème précédent. On considère deux séries entières f (x) =
+∞
n=0
a n x n et g(x) =
+∞
n=0
b n x n de même rayon
de convergence égal à 1. On suppose de plus que S n = a 0 + a 1 + · · · + a n et
T n = b 0 + b 1 + · · · + b n (n ∈ N) sont strictement positifs et que les deux séries
+∞
n=0
S n et
+∞
n=0
T n divergent. Prouver que si lim
n→+∞
Sn
Tn = A ∈ R + , on a alors aussi
lim
x→1 −
f (x)
g(x) = A.
III.3.23. Montrer sur un exemple que la réciproque du théorème précédent est
fausse, en clair, le fait que lim
x→1 −
f (x)
g(x) = A n’implique pas l’existence de lim
n→+∞
Sn
Tn .
III.3.24. Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n une série entière à coefficients positifs de rayon
de convergence égal à 1 telle que lim
x→1 −
f (x)(1 − x) = A ∈ R ∗
+ . Prouver qu’il existe
A 1 et A 2 strictement positifs tels que
A 1 n S n = a 0 + a 1 + · · · + a n A 2 n, n ∈ N
∗ .
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