Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.3.13. On note f (x) =
+∞
n=0
x 2 n , |x| < 1. Prouver qu’il existe M > 0 tel que
f
(x)
<
M
1 − |x|
pour |x| < 1.
III.3.14. Prouver le théorème d’Abel . Si
+∞
n=0
a n converge vers L, alors
(a)
+∞
n=0
a n x n converge uniformément sur [0 , 1],
(b) lim
x→1 −
+∞
n=0
a n x n = L.
III.3.15. Prouver la généralisation suivante du théorème d’Abel. Si {S n } est
la suite des sommes partielles de
+∞
n=0
a n et si le rayon de convergence de la série
entière f (x) =
+∞
n=0
a n x n est égal à 1, alors
lim
n→+∞
S n lim
x→1 −
f (x) lim
x→1 −
f (x) lim
n→+∞
S n .
III.3.16. Démontrer le théorème de Tauber . Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x n une série
entière de rayon de convergence égal à 1. Si lim
n→+∞
na n = 0 et lim
x→1 −
f (x) = L,
L ∈ R, alors
+∞
n=0
a n converge vers L.
III.3.17. Montrer sur un exemple que l’hypothèse lim
n→+∞
na n = 0 est essentielle
dans le théorème de Tauber.
III.3.18. Soit {a n } une suite strictement positive telle que le rayon de convergence de f (x) =
+∞
n=0
a n x n soit égal à 1. Prouver que lim
x→1 −
f (x) existe et est finie
si et seulement si
+∞
n=0
a n converge.
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