Énoncés
III.3.7. Soit
+∞
n=0
a n x n une série entière de rayon de convergence R ∈ R ∗
+ . Évaluer
le rayon de convergence de :
(a)
+∞
n=0
2
n a n x
n ,
(b)
+∞
n=0
n
n a n x
n ,
(c)
+∞
n=0
n n
n!
a n x
n ,
(d)
+∞
n=0
a
2
n x
n .
III.3.8. Trouver toutes les séries entières uniformément convergentes sur R.
III.3.9. Trouver le rayon de convergence R de la série entière
+∞
n=0
x 2n+1
(2n + 1)!!
et montrer que sa somme vérifie l’équation f (x) = 1 + xf (x), x ∈ ]−R , R[.
III.3.10. Prouver que la série
+∞
n=0
x 3n
(3n)! converge sur R et que sa somme f vérifie
l’équation f (x) + f (x) + f (x) = e x , x ∈ R.
III.3.11. Soit R > 0 le rayon de convergence de la série entière
+∞
n=0
a n x n . On
pose S n (x) =
n
k=0
a k x k pour n ∈ N. Prouver que si f est la somme de la série et
si x 0 ∈ ]−R , R[ est tel que S n (x 0 ) < f(x 0 ) pour tout n ∈ N, alors f (x 0 ) = 0.
III.3.12. Soit {S n } la suite des sommes partielles de la série
+∞
n=0
a n . On pose
T n =
S 0+ S 1 +···+Sn
n+1
. Prouver que si {T n } est bornée, alors les séries entières
+∞
n=0
a n x n ,
+∞
n=0
S n x n et
+∞
n=0
(n + 1)T n x n convergent pour |x| < 1 et
+∞
n=0
a n x
n = (1 − x)
+∞
n=0
S n x
n = (1 − x)
2
+∞
n=0
(n + 1)T n x
n .
287