Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.3.4. Prouver que si les rayons de convergence de
+∞
n=0
a n x n et
+∞
n=0
b n x n sont
respectivement égaux à R 1 et R 2 , alors
(a) le rayon de convergence R de
+∞
n=0
(a n + b n ) x n est égal à min {R 1 , R 2 } si
R 1 = R 2 . Que peut-on dire de R si R 1 = R 2 ?
(b) le rayon de convergence R de
+∞
n=0
a n b n x n vérifie R R 1 R 2 . Montrer sur un
exemple que l’inégalité peut être stricte.
III.3.5. Soit R 1 et R 2 les rayons de convergence respectifs de
+∞
n=0
a n x n et
+∞
n=0
b n x n . Prouver que
(a) si R 1 , R 2 ∈ R ∗
+ , alors le rayon de convergence R de la série entière
+∞
n=0
a n
b n
x
n , b n = 0 pour tout n ∈ N,
vérifie R
R 1
R 2
,
(b) le rayon de convergence R du produit de Cauchy (voir, par exemple, III.6.1
(vol. I)) des deux séries vérifie R min {R 1 , R 2 }.
Montrer sur des exemples que les inégalités données en (a) et (b) peuvent être
strictes.
III.3.6. Trouver le rayon de convergence R de
+∞
n=0
a n x n si :
(a) il existe α et L > 0 tels que lim
n→+∞
|a n n α | = L,
(b) il existe α, L > 0 tels que lim
n→+∞
|a n α n | = L,
(c) lim
n→+∞
|a n n!| = L, L ∈ R ∗
+ .
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