Énoncés
(2) R est la borne supérieure de l’ensemble des r ∈ R + tels que {|a n | r n } est
une suite bornée,
(3) 1/R = lim
n→+∞
n
|a n | (avec la convention
1
0 = +∞ et
1
+∞ = 0).
R est appelé le rayon de convergence de la série entière
+∞
n=0
a n (x − x 0 ) n .
III.3.2. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
(a)
+∞
n=1
n
3 x
n ,
(b)
+∞
n=1
2 n
n!
x
n ,
(c)
+∞
n=1
2 n
n 2 x
n ,
(d)
+∞
n=1
(2 + (−1)
n )
n x
n ,
(e)
+∞
n=1
2 + (−1)
n
5 + (−1)
n+1
n
x
n ,
(f)
+∞
n=1
2
n x
n 2 ,
(g)
+∞
n=1
2
n 2 x
n! ,
(h)
+∞
n=1
1 +
1
n
(−1)
n n 2
x
n .
III.3.3. Déterminer le domaine de convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
(x − 1)
2n
2 n n 3 ,
(b)
+∞
n=1
n
n + 1
2x + 1
x
n
,
(c)
+∞
n=1
n4 n
3 n x
n (1 − x)
n ,
(d)
+∞
n=1
(n!)
2
(2n)!
(x − 1)
n ,
(e)
+∞
n=1
√
n (tan x)
n ,
(f)
+∞
n=1
Arctan
1
x
n 2
.
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