Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.37. Prouver que la fonction ζ de Riemann définie par
ζ(x) =
+∞
n=1
1
n x
appartient à C ∞
]1,+∞[ .
III.2.38. Soit f ∈ C ∞
]0,1[ une fonction vérifiant les conditions suivantes :
(1) f ≡ 0,
(2) f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N,
(3) la série
+∞
n=1
a n f (n) (x) converge uniformément sur [0 , 1] pour une suite
réelle {a n }.
Prouver que
lim
n→+∞
n!a n = 0.
III.2.39. Pour x ∈ R, on note f n (x) la distance de x au plus proche nombre
rationnel de dénominateur égal à n (le numérateur et le dénominateur n’ont pas
à être premiers entre eux). Trouver pour quelles valeurs de x la série
+∞
n=1
f n (x)
converge.
III.2.40. On pose g(x) = |x| pour x ∈ [−1 , 1]. On prolonge la fonction g à R en
posant g(x + 2) = g(x) pour tout x ∈ R. Prouver que la fonction de Weierstrass
f définie par
f (x) =
+∞
n=0
3
4
n
g (4
n x)
est continue sur R mais nulle part dérivable.
III.3. Séries entières
III.3.1. Soit
+∞
n=0
a n (x − x 0 )
n une série entière. Démontrer qu’il existe R ∈
[0 , +∞] tel que
(1) la série converge absolument si |x − x 0 | < R et diverge si |x − x 0 | > R,
284